1. La crisi della fisica classica

Alla fine dell'Ottocento la fisica classica appare quasi conclusa: la meccanica di Newton descrive il moto, l'elettromagnetismo di Maxwell descrive luce, campi e onde, la termodinamica descrive il calore. Restano però alcuni fenomeni "residui" che nessuna di queste teorie riesce a spiegare. Non si tratta di dettagli tecnici: sono punti in cui la teoria classica non dà un risultato leggermente sbagliato, ma un risultato assurdo.

Il primo di questi problemi è la radiazione emessa dai corpi caldi.

Il corpo nero

Ogni corpo a temperatura \(T\) emette radiazione elettromagnetica. Per studiare il fenomeno in modo pulito si introduce un modello ideale, il corpo nero: un oggetto che assorbe tutta la radiazione che lo colpisce (non ne riflette nessuna) e che, all'equilibrio termico, riemette uno spettro che dipende solo dalla temperatura, non dal materiale. In laboratorio si approssima con una cavità chiusa a pareti calde, con un piccolo foro da cui osservare la radiazione interna.

Sperimentalmente lo spettro del corpo nero ha una forma caratteristica a campana: cresce, raggiunge un massimo a una certa lunghezza d'onda \(\lambda_{max}\), poi decresce. Due leggi empiriche lo riassumono:

Legge dello spostamento di Wien — al crescere della temperatura il massimo si sposta verso lunghezze d'onda minori (dal rosso verso il blu):

\[ \lambda_{max}\, T = 2{,}90\cdot10^{-3}\ \mathrm{m\,K} \]

Legge di Stefan-Boltzmann — l'intensità totale irradiata cresce con la quarta potenza della temperatura:

\[ I = \sigma T^{4}, \qquad \sigma = 5{,}67\cdot10^{-8}\ \mathrm{W\,m^{-2}K^{-4}} \]

Il problema nasce quando si prova a derivare quella curva a campana dalla fisica classica.

La catastrofe ultravioletta

Il ragionamento classico è questo: la radiazione dentro la cavità è un insieme di onde stazionarie (i "modi" del campo elettromagnetico). La termodinamica classica assegna a ciascun modo la stessa energia media \(kT\) — è il teorema di equipartizione. Ma il numero di modi disponibili cresce rapidamente al diminuire della lunghezza d'onda: nella cavità c'è "spazio" per un numero enorme di onde molto corte. Il risultato è la legge di Rayleigh-Jeans:

\[ u(\lambda, T) \;\propto\; \frac{kT}{\lambda^{4}} \]

Per grandi lunghezze d'onda la formula funziona: coincide con i dati. Ma per \(\lambda \to 0\) l'intensità prevista diverge: cresce senza limite. Integrando su tutte le lunghezze d'onda, l'energia totale emessa da qualsiasi corpo caldo risulterebbe infinita. Questo è ciò che si chiama catastrofe ultravioletta.

L'ipotesi di Planck (1900)

Max Planck trova la formula corretta e poi, per giustificarla, è costretto a un'ipotesi che lui stesso considera inizialmente un artificio matematico: gli oscillatori delle pareti della cavità non possono scambiare energia in quantità arbitraria. Possono scambiarla solo in pacchetti discreti, multipli interi di una quantità elementare proporzionale alla frequenza:

\[ E_n = n\,h f, \qquad n = 0, 1, 2, 3, \dots \]

dove \(h\) è la costante di Planck:

\[ h = 6{,}626\cdot10^{-34}\ \mathrm{J\,s} = 4{,}136\cdot10^{-15}\ \mathrm{eV\,s} \]

Con questa ipotesi la formula che si ottiene è la legge di Planck:

\[ u(\lambda, T) = \frac{8\pi h c}{\lambda^{5}} \cdot \frac{1}{e^{\,hc/\lambda k T} - 1} \]

e riproduce i dati su tutto lo spettro.

Perché la quantizzazione risolve la catastrofe? Perché ai modi di alta frequenza (\(\lambda\) piccola) serve un pacchetto di energia grande, \(hf\), per essere eccitati anche solo una volta. Se l'energia termica tipica \(kT\) è molto minore di \(hf\), quel modo resta praticamente spento: non esiste il "mezzo pacchetto" che gli permetterebbe di partire. La quantizzazione agisce come una soglia di ingresso che spegne progressivamente i modi ad alta frequenza, e l'integrale diventa finito.

Nota l'ordine di grandezza di \(h\): \(10^{-34}\) in unità SI. Per un'oscillazione macroscopica la granularità dei pacchetti è così fine che nessuno strumento può notarla, e la fisica classica torna a essere un'eccellente approssimazione. La quantizzazione non è "un'altra fisica": è la fisica che c'è sempre stata, ma i cui effetti diventano visibili solo quando \(hf\) è confrontabile con le energie in gioco.

La curva mostra quanta energia il corpo nero emette a ciascuna lunghezza d'onda. Muovi la temperatura e osserva due cose insieme: il massimo che si sposta verso il blu (legge di Wien) e l'area totale che cresce molto più rapidamente (legge di Stefan-Boltzmann). La curva tratteggiata è la previsione classica di Rayleigh-Jeans: coincide con quella corretta alle grandi lunghezze d'onda e diverge nell'ultravioletto.

2. L'effetto fotoelettrico

Se si illumina una superficie metallica pulita, in certe condizioni il metallo emette elettroni (detti fotoelettroni). Il fenomeno, scoperto da Hertz nel 1887 e studiato in dettaglio da Lenard, si misura con una cella fotoelettrica: due elettrodi in un tubo a vuoto, la luce colpisce il catodo, e un amperometro misura la corrente degli elettroni raccolti dall'anodo.

Che cosa dice la teoria ondulatoria classica

Nella descrizione classica la luce è un'onda elettromagnetica: il campo elettrico dell'onda fa oscillare gli elettroni del metallo, che accumulano energia fino a strapparsi via. Da questo modello seguono tre previsioni molto precise:

1. Aumentando l'intensità della luce, il campo è più forte, quindi gli elettroni escono con energia cinetica maggiore.
2. L'emissione deve avvenire con qualunque frequenza: basta illuminare abbastanza a lungo o abbastanza forte perché l'energia si accumuli.
3. Con luce molto debole deve esserci un ritardo misurabile tra l'inizio dell'illuminazione e la prima emissione, il tempo necessario per accumulare l'energia.

Che cosa dice l'esperimento

Tutte e tre le previsioni sono sbagliate.

Il punto più netto è la soglia. Con luce rossa intensissima su una superficie di zinco non esce un solo elettrone; con luce ultravioletta debolissima l'emissione parte subito. Un'onda classica non può comportarsi così: per un'onda, "molta energia a bassa frequenza" e "poca energia ad alta frequenza" dovrebbero essere entrambe capaci di strappare elettroni, la prima anzi più facilmente.

La spiegazione di Einstein (1905)

Einstein propone di prendere alla lettera, ed estendere, l'ipotesi di Planck: la luce non solo viene scambiata a pacchetti, è fatta di pacchetti di energia localizzati, che chiamiamo fotoni. L'energia di un fotone di frequenza \(f\) vale

\[ E = h f = \frac{h c}{\lambda} \]

e, in unità comode per l'atomo, con \(hc = 1240\ \mathrm{eV\,nm}\):

\[ E\,[\mathrm{eV}] = \frac{1240}{\lambda\,[\mathrm{nm}]} \]

L'interazione tra luce e elettrone è ora un evento uno-a-uno: un fotone cede tutta la sua energia a un singolo elettrone, oppure non interagisce. Per uscire dal metallo l'elettrone deve pagare un pedaggio, il lavoro di estrazione \(W\) (o funzione lavoro), che è l'energia minima di legame alla superficie e dipende dal materiale. Il resto diventa energia cinetica:

\[ K_{max} = h f - W \]

Questa singola equazione spiega tutte le osservazioni:

• Soglia. Se \(hf < W\) l'elettrone non ha abbastanza energia per uscire, e nessun aumento del numero di fotoni cambia la situazione: mille fotoni troppo poveri non si sommano su un solo elettrone. La frequenza di soglia è \(f_0 = W/h\), cui corrisponde \(\lambda_0 = hc/W\).
• Intensità. Aumentare l'intensità significa aumentare il numero di fotoni al secondo, quindi il numero di elettroni emessi (la corrente), non l'energia di ciascuno.
• Istantaneità. L'assorbimento è un singolo evento, non un accumulo: non serve tempo per "caricare" l'elettrone.
• Linearità. Il grafico di \(K_{max}\) in funzione di \(f\) è una retta di pendenza \(h\) e intercetta \(-W\). La pendenza è la stessa per ogni metallo: è una costante universale. Cambiando materiale la retta si sposta, non si inclina.

Sperimentalmente \(K_{max}\) si misura con il potenziale d'arresto \(V_a\): si applica una tensione inversa che frena gli elettroni, e si cerca il valore che annulla la corrente. Allora

\[ e\,V_a = K_{max} = h f - W \]

I pacchetti d'onda a sinistra sono i fotoni: il loro colore e la loro frequenza spaziale dipendono dalla lunghezza d'onda scelta, il loro numero dall'intensità. Ogni pacchetto che raggiunge la superficie viene assorbito da un singolo elettrone. Se \(hf \ge W\) l'elettrone esce e viaggia verso il collettore con energia cinetica \(K_{max} = hf - W\); se \(hf < W\) l'energia viene solo dissipata e non esce nulla, per quanti pacchetti si mandino.

3. L'effetto Compton

L'effetto fotoelettrico mostra che la luce cede energia a pacchetti. L'effetto Compton (1923) mostra qualcosa di più forte: nell'interazione con un elettrone il fotone si comporta a tutti gli effetti come una particella dotata di quantità di moto, e l'urto obbedisce alle stesse leggi di conservazione di un urto tra due biglie.

L'esperimento

L'apparato è concettualmente semplice. Una sorgente produce raggi X monocromatici (Compton usa la riga \(K_\alpha\) del molibdeno, \(\lambda = 71{,}1\) pm); il fascio colpisce un blocchetto di grafite; un rivelatore mobile, montato su un braccio rotante, raccoglie la radiazione diffusa a un angolo \(\theta\) scelto dallo sperimentatore. Per ciascun angolo uno spettrometro a cristallo misura la lunghezza d'onda della radiazione raccolta.

Il risultato è che a ogni angolo lo spettro diffuso contiene due picchi: uno alla lunghezza d'onda incidente \(\lambda\), uno spostato a \(\lambda' > \lambda\). Il secondo picco è la novità, e la sua posizione cambia con l'angolo in modo perfettamente riproducibile.

Compton invia raggi X di lunghezza d'onda \(\lambda\) nota su un bersaglio di grafite e misura la radiazione diffusa a vari angoli. Trova che parte della radiazione diffusa ha lunghezza d'onda maggiore di quella incidente, e che l'aumento dipende solo dall'angolo di diffusione \(\theta\):

\[ \Delta\lambda = \lambda' - \lambda = \frac{h}{m_e c}\,\bigl(1 - \cos\theta\bigr) \]

La costante \(\lambda_C = h/(m_e c) = 2{,}43\cdot10^{-12}\ \mathrm{m} = 2{,}43\) pm si chiama lunghezza d'onda Compton dell'elettrone.

Classicamente questo è impossibile: un'onda che fa oscillare un elettrone lo fa oscillare alla propria frequenza, quindi la radiazione riemessa dovrebbe avere la stessa \(\lambda\) di quella incidente, qualunque sia l'angolo. Lo spostamento in lunghezza d'onda è invece esattamente ciò che si ottiene trattando il processo come un urto elastico relativistico fotone-elettrone, imponendo la conservazione dell'energia e della quantità di moto con

\[ E_{\text{fotone}} = h f, \qquad p_{\text{fotone}} = \frac{hf}{c} = \frac{h}{\lambda} \]

Il fotone urta l'elettrone, gli cede una parte di energia e quantità di moto, e riparte con energia minore: energia minore significa frequenza minore, cioè lunghezza d'onda maggiore. L'elettrone rinculando porta via il resto (per questo si parla di elettroni di rinculo).

Due osservazioni utili:

• Lo spostamento massimo si ha per \(\theta = 180^\circ\) (retrodiffusione), dove \(\Delta\lambda = 2\lambda_C = 4{,}86\) pm; per \(\theta = 0\) non c'è spostamento, coerentemente con il fatto che senza deviazione non c'è scambio.
• \(\Delta\lambda\) è una quantità assoluta di pochi picometri: per questo l'effetto è ben visibile con raggi X (\(\lambda \sim 10\) pm, spostamento relativo grande) e del tutto trascurabile con luce visibile (\(\lambda \sim 500\) nm, cioè 500 000 pm).

Come si ricava la formula

Il conto non richiede nulla di più delle conservazioni, purché si usino le espressioni relativistiche. Si scrivono le tre equazioni per un fotone che arriva lungo \(x\) su un elettrone in quiete:

Eliminando fra queste le due incognite che non interessano — il modulo \(p_e\) e l'angolo \(\varphi\) dell'elettrone — resta una sola relazione fra \(\lambda\), \(\lambda'\) e \(\theta\), ed è precisamente la formula di Compton. Il fatto notevole è che il risultato non contiene \(\lambda\): lo spostamento è lo stesso per qualunque radiazione incidente.

Dalle stesse equazioni si ricava anche l'angolo dell'elettrone,

\[ \cot\varphi = \left(1 + \frac{E}{m_ec^2}\right)\tan\frac{\theta}{2} \]

che è sempre acuto: l'elettrone parte necessariamente in avanti, perché la quantità di moto iniziale puntava tutta in avanti. Nella simulazione di questo modulo puoi verificarlo angolo per angolo.

Fotoelettrico e Compton: due prove diverse

	Effetto fotoelettrico	Effetto Compton
Cosa si misura	energia cinetica massima degli elettroni estratti	lunghezza d'onda della radiazione diffusa a un dato angolo
Grandezza del fotone in gioco	energia \(E = hf\)	energia \(E = hf\) e quantità di moto \(p = h/\lambda\)
Il fotone	viene assorbito e scompare	sopravvive, con energia minore
Scappatoia classica	si può ancora ipotizzare che sia il metallo ad assorbire per quanti	nessuna: è cinematica di un urto fra due corpi
Regione dello spettro	visibile e ultravioletto	raggi X e raggi gamma

Un fotone di raggi X arriva su un elettrone in quiete. Scegli la lunghezza d'onda incidente e l'angolo di diffusione: la simulazione calcola il fotone diffuso e il rinculo dell'elettrone imponendo la conservazione di energia e quantità di moto, esattamente come in un urto tra due corpi.

4. Dualismo onda-particella

La situazione a questo punto è scomoda. Interferenza e diffrazione dicono che la luce è un'onda; effetto fotoelettrico e Compton dicono che è fatta di quanti con energia e quantità di moto definite. Non si può scegliere: servono entrambe le descrizioni, in esperimenti diversi. Questo è il dualismo onda-particella.

L'ipotesi di de Broglie (1924)

Louis de Broglie fa un passo di simmetria: se la luce, che consideravamo onda, ha proprietà corpuscolari, allora la materia, che consideravamo corpuscolare, deve avere proprietà ondulatorie. A ogni particella di quantità di moto \(p\) associa una lunghezza d'onda

\[ \lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{m v} \]

Per un elettrone non relativistico accelerato da una differenza di potenziale \(V\) si ha \(K = eV = p^2/(2m)\), quindi \(p = \sqrt{2 m e V}\) e

\[ \lambda = \frac{h}{\sqrt{2 m_e e V}} \;=\; \frac{1{,}226}{\sqrt{V\,[\mathrm{V}]}}\ \mathrm{nm} \]

Con \(V = 100\) V si ottiene \(\lambda \approx 0{,}12\) nm: dell'ordine della distanza tra gli atomi in un cristallo. Questo rende l'ipotesi verificabile — e nel 1927 Davisson e Germer osservano la diffrazione degli elettroni su un cristallo di nichel, con massimi nelle posizioni previste dalla legge di Bragg usando proprio \(\lambda = h/p\). Thomson ottiene lo stesso risultato con lamine metalliche sottili.

Perché non vediamo la natura ondulatoria degli oggetti quotidiani? Perché \(h\) è minuscolo. Una pallina da tennis di 60 g a 30 m/s ha

\[ \lambda = \frac{6{,}63\cdot10^{-34}}{0{,}060 \cdot 30} \approx 3{,}7\cdot10^{-34}\ \mathrm{m} \]

cioè venti ordini di grandezza sotto il raggio di un protone. Nessuna fenditura può essere abbastanza piccola per rivelarla. La natura ondulatoria della materia non è "solo per gli elettroni": è per tutto, ma diventa osservabile solo quando \(\lambda\) è confrontabile con le dimensioni del sistema.

La doppia fenditura con elettroni

È l'esperimento in cui il dualismo diventa impossibile da ignorare. Un fascio molto debole di elettroni — così debole che ne parte uno alla volta — attraversa uno schermo con due fenditure vicine e arriva su un rivelatore. Che cosa si osserva:

1. Ogni elettrone viene rivelato come un singolo punto localizzato. Non arriva mai "mezzo elettrone", né una macchia diffusa: l'arrivo è sempre puntuale, come per una particella.
2. I primi punti sembrano distribuiti a caso. Non c'è modo di prevedere dove arriverà il prossimo.
3. Accumulando migliaia di punti compare una figura di interferenza a frange chiare e scure, con la spaziatura prevista dall'ottica ondulatoria usando \(\lambda = h/p\).
4. Se si chiude una fenditura, la figura di interferenza scompare e resta la larga distribuzione di una fenditura sola. E in alcuni punti dove con una sola fenditura aperta arrivavano elettroni, con due fenditure aperte non ne arriva nessuno.
5. Se si installa un rivelatore che determina da quale fenditura è passato ciascun elettrone, le frange scompaiono. Non c'è modo di avere insieme l'informazione sul percorso e la figura di interferenza.

Il punto 4 è quello che chiude ogni via di fuga classica. Se ogni elettrone passasse da una fenditura o dall'altra come una pallina, aprire la seconda fenditura potrebbe solo aggiungere modi di arrivare in un punto, mai togliere quelli esistenti. Invece l'apertura di un secondo cammino impedisce certi arrivi: è il comportamento di ampiezze che si sommano e possono cancellarsi, non di probabilità classiche che si sommano sempre positive.

Il punto 3 dice qualcosa sul significato dell'onda: la figura di interferenza non è la forma di un singolo elettrone "spalmato". Con un elettrone alla volta, e ore di attesa tra un elettrone e il successivo, la figura si costruisce comunque. Quindi l'onda non descrive un affollamento di molti elettroni che interferiscono tra loro: descrive la distribuzione di probabilità dei punti di arrivo del singolo elettrone. Ogni elettrone interferisce con se stesso.

Gli elettroni partono uno alla volta. Ciascuno viene rivelato come un singolo punto sullo schermo di destra: nessun elettrone arriva "spalmato". La figura non è nel singolo elettrone, è nella statistica dei punti. Per questo la simulazione va lasciata lavorare: nei primi cinquanta impatti non si vede nulla, dopo qualche migliaio la figura è nitida.

5. I modelli atomici

Parallelamente, un secondo filone di problemi riguarda la struttura dell'atomo. Qui la fisica classica non fallisce su un dettaglio: fallisce nel rendere l'atomo stabile.

Thomson: il modello a "panettone" (1904)

Scoperto l'elettrone (Thomson, 1897), il primo modello immagina l'atomo come una sfera di carica positiva diffusa, di raggio \(\sim 10^{-10}\) m, con gli elettroni immersi dentro come uvette in un impasto. Il modello è elettricamente neutro, spiega la ionizzazione (si strappa un elettrone) e prevede che una particella carica veloce, attraversando l'atomo, subisca solo piccole deviazioni: la carica positiva è spalmata, quindi i campi interni sono deboli.

Rutherford: il nucleo (1911)

Rutherford, con Geiger e Marsden, bombarda una lamina d'oro sottilissima con particelle \(\alpha\) (nuclei di elio, carica \(+2e\)). Il risultato attesa/realtà:

• La grande maggioranza delle \(\alpha\) passa quasi indisturbata — compatibile con Thomson.
• Ma circa una su ottomila viene deviata di più di \(90^\circ\), e alcune tornano indietro. Con le parole di Rutherford, "come sparare a un foglio di carta velina e vedere il proiettile rimbalzare".

Una deviazione così grande richiede un urto con una carica positiva molto concentrata. Dai dati Rutherford deduce che la carica positiva e quasi tutta la massa occupano una regione di raggio \(\sim 10^{-15}\) m: il nucleo, circa \(10^{5}\) volte più piccolo dell'atomo. Ne segue il modello planetario: nucleo al centro, elettroni in orbita, e in mezzo essenzialmente vuoto.

La crisi del modello planetario

Il modello di Rutherford spiega la diffusione, ma è insostenibile per due motivi, entrambi gravi.

Instabilità per irraggiamento. L'elettrone in orbita circolare è una carica in moto accelerato (accelerazione centripeta). L'elettromagnetismo di Maxwell prevede che una carica accelerata irradi energia. Perdendo energia l'orbita si restringe, l'elettrone spiraleggia verso il nucleo, e il calcolo classico dà un tempo di collasso dell'ordine di \(10^{-11}\) s. In altre parole: secondo la fisica classica l'atomo non può esistere. Poiché gli atomi esistono da miliardi di anni, qualcosa nella teoria non funziona.

Spettri a righe. Durante il collasso a spirale la frequenza di rotazione cambierebbe con continuità, quindi un gas eccitato dovrebbe emettere uno spettro continuo. Invece un gas rarefatto eccitato emette solo righe discrete, sempre le stesse per un dato elemento, come un codice a barre caratteristico. Per l'idrogeno le righe visibili (serie di Balmer) hanno lunghezze d'onda che seguono la formula empirica trovata da Balmer nel 1885 e generalizzata da Rydberg:

\[ \frac{1}{\lambda} = R_H\left(\frac{1}{n_f^{2}} - \frac{1}{n_i^{2}}\right), \qquad R_H = 1{,}097\cdot10^{7}\ \mathrm{m^{-1}} \]

Una formula così semplice e con numeri interi dentro non può essere un caso: sta indicando che nell'atomo c'è qualcosa di intrinsecamente discreto.

Il modello di Bohr (1913)

Bohr costruisce un modello ibrido: mantiene le orbite classiche, ma impone tre postulati che la fisica classica non giustifica.

1. Stati stazionari. L'elettrone può occupare solo determinate orbite, dette stazionarie, su cui non irradia, contrariamente a quanto prevede Maxwell. Ciascuna ha un'energia \(E_n\) ben definita.
2. Quantizzazione del momento angolare. Le orbite permesse sono quelle in cui \(L = m v r = n \hbar\), con \(n = 1, 2, 3, \dots\) e \(\hbar = h/2\pi\).
3. Transizioni quantiche. L'atomo emette o assorbe radiazione solo passando da un'orbita all'altra, e il fotone coinvolto ha energia esattamente pari alla differenza tra i due livelli: \[ h f = E_i - E_f \]

Imponendo il secondo postulato all'equilibrio tra forza di Coulomb e forza centripeta si ricavano raggi ed energie permesse. Per l'idrogeno:

\[ r_n = n^{2} a_0, \qquad a_0 = 0{,}0529\ \mathrm{nm} \] \[ E_n = -\frac{13{,}6\ \mathrm{eV}}{n^{2}} \]

Il significato dei segni e dei numeri:

• L'energia è negativa perché lo stato è legato: serve fornire energia per liberare l'elettrone. Lo zero è convenzionalmente posto a elettrone libero e fermo, cioè a \(n \to \infty\).
• \(E_1 = -13{,}6\) eV è lo stato fondamentale, il più stabile. Da qui l'energia di ionizzazione dell'idrogeno è 13,6 eV.
• I livelli si infittiscono al crescere di \(n\) (vanno come \(1/n^2\)), e convergono a zero: sopra 0 eV l'elettrone è libero e lo spettro torna continuo.
• Il raggio cresce come \(n^2\): l'orbita \(n=4\) è 16 volte più grande della fondamentale. Nella simulazione della sezione 2 la scala radiale è compressa, altrimenti \(n=1\) sarebbe invisibile.

Dalla combinazione dei postulati 1 e 3 si ottiene direttamente la formula di Rydberg, con \(R_H\) espresso in termini di \(m_e\), \(e\), \(h\) e \(c\): un risultato numericamente esatto, che è stato il grande successo del modello. Le transizioni si organizzano in serie, ciascuna caratterizzata dal livello di arrivo:

Che cosa resta e che cosa cade del modello di Bohr

Bohr non è la meccanica quantistica: è un modello di transizione, e va saputo collocare.

Resta valido: la quantizzazione dell'energia degli stati legati; l'esistenza di uno stato fondamentale; la relazione \(hf = E_i - E_f\) per emissione e assorbimento; l'interpretazione degli spettri a righe come impronta dei livelli; i valori numerici per l'idrogeno.

Cade: l'idea dell'orbita. Un'orbita è una traiettoria, cioè posizione e velocità definite in ogni istante — proprio ciò che il principio di indeterminazione vieta. Inoltre il modello non funziona per atomi con più di un elettrone, non spiega le intensità relative delle righe né la loro struttura fine, e i postulati restano imposti dall'esterno invece di seguire da una teoria. La meccanica quantistica sostituirà le orbite con gli orbitali: distribuzioni di probabilità di presenza, senza traiettoria.

Una notazione utile, dovuta a de Broglie: la condizione \(m v r = n\hbar\) equivale a dire che la circonferenza dell'orbita contiene un numero intero di lunghezze d'onda di de Broglie, \(2\pi r = n \lambda\). Le orbite permesse sono quelle in cui l'onda associata all'elettrone "si chiude" su se stessa, come un'onda stazionaria su una corda. È il primo indizio che la quantizzazione degli atomi e la natura ondulatoria della materia sono lo stesso fatto.

Scegli il livello di arrivo: se è più basso l'atomo emette un fotone (l'elettrone scende), se è più alto deve assorbirlo (l'elettrone sale solo se arriva il fotone giusto). L'energia del fotone è esattamente \(|E_i - E_f|\), e da questa segue la lunghezza d'onda, quindi il colore. Le righe visibili appaiono nello spettro in basso con il loro colore reale.

6. Il principio di indeterminazione di Heisenberg

Nel 1927 Heisenberg formula un limite che non riguarda la nostra abilità sperimentale, ma la struttura stessa della realtà quantistica. Per la coppia posizione-quantità di moto:

\[ \Delta x \cdot \Delta p_x \;\ge\; \frac{\hbar}{2}, \qquad \hbar = \frac{h}{2\pi} = 1{,}055\cdot10^{-34}\ \mathrm{J\,s} \]

e per la coppia energia-tempo:

\[ \Delta E \cdot \Delta t \;\ge\; \frac{\hbar}{2} \]

In parole: più precisamente è definita la posizione di una particella lungo una direzione, meno è definita la sua quantità di moto nella stessa direzione, e viceversa. Il prodotto delle due indeterminazioni non può scendere sotto \(\hbar/2\).

Due conseguenze da conoscere

Stabilità dell'atomo. Perché l'elettrone non cade sul nucleo? Confinarlo in una regione piccolissima (\(\Delta x\) piccolo) impone una grande indeterminazione sulla quantità di moto, quindi una grande energia cinetica media. C'è un compromesso: troppo vicino al nucleo l'energia cinetica cresce più di quanto scenda l'energia potenziale. Il minimo della somma cade proprio intorno al raggio di Bohr. L'atomo ha una dimensione minima perché vale l'indeterminazione.

Stima veloce. Confinando un elettrone in \(\Delta x = 0{,}10\) nm (dimensione atomica):

\[ \Delta p \ge \frac{\hbar}{2\Delta x} = \frac{1{,}055\cdot10^{-34}}{2\cdot 1{,}0\cdot10^{-10}} \approx 5{,}3\cdot10^{-25}\ \mathrm{kg\,m/s} \] \[ \Delta v = \frac{\Delta p}{m_e} \approx 5{,}8\cdot10^{5}\ \mathrm{m/s} \]

L'indeterminazione sulla velocità è di centinaia di chilometri al secondo: dello stesso ordine della velocità stessa. Parlare di "velocità dell'elettrone nell'atomo" è quindi privo di senso operativo. Ripetendo lo stesso calcolo per un granello di polvere di \(10^{-9}\) kg localizzato entro un micrometro si ottiene \(\Delta v \sim 10^{-19}\) m/s: inosservabile. Ecco perché la meccanica classica funziona benissimo dove funziona.

7. Verso la meccanica quantistica: la funzione d'onda

Nel 1926 Schrödinger scrive l'equazione che governa l'evoluzione dell'oggetto centrale della teoria: la funzione d'onda \(\psi(x, t)\). Non è necessario risolverla a questo livello; è invece essenziale capire che cosa rappresenta.

La funzione d'onda non è l'elettrone, e non è un'onda materiale che vibra nello spazio come un'onda sonora. È un'ampiezza di probabilità: un oggetto matematico il cui modulo quadro dà la densità di probabilità di trovare la particella in un punto, se lì si effettua una misura di posizione. Questa è l'interpretazione probabilistica di Born (1926):

\[ P(x)\ \propto\ |\psi(x)|^{2} \]

Alcune proprietà chiave, dette a parole:

• Le ampiezze si sommano, le probabilità no. Con due fenditure aperte, \(\psi = \psi_A + \psi_B\), e la probabilità è \(|\psi_A + \psi_B|^2\), non \(|\psi_A|^2 + |\psi_B|^2\). La differenza tra le due espressioni è il termine di interferenza, che può essere negativo: da qui le frange scure dove i due contributi si cancellano.
• La quantizzazione nasce dalle condizioni al contorno. Se una particella è confinata (in una buca di potenziale, in un atomo), solo certe funzioni d'onda si "chiudono" correttamente, esattamente come solo certe frequenze sono possibili su una corda di chitarra fissata agli estremi. I livelli energetici discreti non sono un postulato aggiunto a mano come in Bohr: sono una conseguenza matematica. Questo è il punto in cui la teoria di Schrödinger supera il modello di Bohr.
• Orbitali al posto di orbite. Nell'atomo la soluzione dell'equazione dà gli orbitali: regioni con una data distribuzione di \(|\psi|^2\). L'immagine corretta dell'atomo di idrogeno nello stato fondamentale non è un puntino che gira, ma una nuvola sfericamente simmetrica, più densa vicino al nucleo, il cui massimo di probabilità radiale cade a \(a_0\).
• La misura. Quando si misura la posizione, si ottiene un valore, e la descrizione successiva del sistema cambia di conseguenza. Come e perché questo avvenga è il problema della misura, ancora oggetto di interpretazioni diverse. Il fatto che la teoria funzioni con straordinaria precisione senza che questo punto sia chiuso è, di per sé, un'informazione onesta da avere.

Sopra: la funzione d'onda di una particella localizzata, un pacchetto la cui ampiezza è concentrata in una regione di larghezza \(\Delta x\). Sotto: la distribuzione delle quantità di moto che quel pacchetto contiene. Le due larghezze non sono indipendenti — stringi l'una e l'altra si allarga, con il prodotto vincolato dal basso.